크레이머의 법칙과 그 응용

크레이머의 규칙 - 해결하기위한 정확한 방법 중 하나입니다 선형 대수 방정식 (슬라 우)의 시스템. 자사의 시스템 행렬의 결정의 사용으로 인해 정확성뿐만 아니라, 정리의 증명에 부과 된 제한의 일부로서.

계수 속하는 선형 대수 방정식의 시스템은, 예를 들면, 복수의 R - 미지의 X1의 실제 숫자는, X2가, ..., XN 식의 모음

AI2의 X1의 + AI2의 2 배 + ... = XN 아 함께 양방향 I = 1, 2, ..., m, (1)

여기서 AIJ, 양방향 - 실수. 이러한 식의 각각의 호출 차식, 미지의 계수 BI - - 독립 방정식 계수 AIJ.

(1) 용액 °, = (X1 °, X2 °, ..., XN °)을, 미지의 X1을 위해 시스템에있는 교체에서, X2는, ...이, XN, 시스템의 각 라인에 가장 수식된다 X N 차원 벡터 라 .

이 빈 세트의 솔루션 세트와 일치하는 경우 시스템은 일관성이 적어도 하나 개의 솔루션이있는 경우 일치라고하고있다.

이 크레이머의 방법을 이용한 연립 일차 방정식에 대한 솔루션을 찾기 위해, 매트릭스 시스템은 기본적으로 시스템 방정식과 미지수의 수를 동일한 의미 정사각형한다는 것을 기억해야한다.

그래서, 당신은 적어도 알고 있어야합니다, 크레이머의 방법을 사용하는 매트릭스가 무엇 선형 대수 방정식의 시스템, 그것은 발급됩니다. 그리고 둘째, 매트릭스 및 계산의 자체 기술의 결정이라고 이해합니다.

우리가이 지식은 당신이 가지고 있다고 가정하자. 멋진! 그럼 그냥 크레이머 방법을 결정하는 공식을 암기해야합니다. 암기는 다음과 같은 표기법을 사용 단순화하기 위해 :

• DET - 시스템 매트릭스의 주요 결정 인자;

• DETI는 - 요소 선형 대수 방정식의 우변되는 열 벡터에 행렬의 i 번째 열을 교체하여 시스템의 기본 행렬로부터 얻어진 행렬의 행렬식이고;

• N - 시스템의 방정식과 미지수의 수.

이어서 크라메르 공식 계산 i 번째 성분 XI (I = 1, ..., N)을 N 차원 벡터 X는 다음과 같이 쓸 수있다

XI = DETI / 탐지, (2).

이 경우, 0에서 엄격하게 다른 DET.

이 공동 제로 시스템의 주요 결정의 부등식 조건에 의해 제공되는 시스템의 용액의 고유성. (XI)의 합은 제곱 그렇지 않으면, 엄격히 긍정적 다음 SLAE 정방 행렬은 불가능하다. 이 DETI 제로의 경우 적어도 하나의 특정 발생할 수 있습니다.

실시 예 1. 크레이머의 식을 이용하여 입체 LAU 시스템을 해결한다.
2의 X1 + X2 + X3의 = 31 (4)
5의 X1 + X2 + X3의 2 = 29
(3) X1 - X2 + X3 = 10.

결정. 행렬의 i 번째 행입니다 - 우리 아이가 라인으로 시스템 라인의 행렬을 적어 둡니다.
A1 = (12 4), A2 = (1 2 5) A3 = (3, -1, 1).
열 여유의 계수 B = (31 29 10).

주요 시스템은 결정 DET입니다
DET = A11 A22 A33 A12 A23 + A31 + A31 A21 A32 - A13 A22 A31 - A11 A32 A23 - A33 A21 A12 = 1 - 20 + 12 - 12 + 2 - 10 = -27.

A11 = B1, B2 = A21, A31 = B3 사용 DET1 순열을 계산한다. 그때
DET1 = B1 + A22 A33 A12 A23 A31 B2 + B3 A32 - A13 A22 (B3) - (B1) A32 A23 - A33 A12 B2 = ... = -81.

마찬가지로, DET2 사용 교체 A12 = B1, B2 = A22, A32 = B3를 계산하고, 이에 따라 계산 det3 - A13 = B1, B2 = A23, A33 = B3한다.
135 - 그럼 당신은 그 DET2 = -108, 및 det3 =를 확인할 수 있습니다.
(- 27) = 3, X2 = -108 / (- 27) = 4, X3 = -135 / (- 27) = 5 식에 따르면 크레이머는 X1 = -81 / 찾을 수 있습니다.

답 : X ° = (3,4,5).

이 규칙의 적용에 의존 크레이머 연립 일차 방정식을 해결하는 방법은, 파라미터 K의 값에 따라 용액의 가능한 다수의 시스템을 조사하기 위해, 예를 들어, 간접적으로 사용될 수있다.

+ | | X + KY + 4 | <= 0 정확히 하나 개의 솔루션 보유 - - Y 4 KX | 예 2는 파라미터 k 개의 부등식 어떤 값으로 결정한다.

결정.
두 식을 동시에 제로의 경우 모듈 함수의 정의에 의해이 부등식은 오직 수행 될 수있다. 따라서,이 문제는 선형 대수 방정식의 해를 찾기로 감소

KX - Y = 4
X = -4 KY +.

그것의 주요 결정 요인 인 경우에만이 시스템에 대한 해결책
DET = K ^ {2} + 1이 0이된다. 이 조건이 매개 변수 k의 모든 실제 값에 대한 만족 것은 분명하다.

답변 : 매개 변수 k의 모든 실제 값.

이러한 유형의 목적은 또한 분야에서 많은 실제 문제를 줄일 수있다 수학, 물리학 또는 화학.