산수 란 무엇입니까? 산술의 주요 정리. 2 진 산술

산수 란 무엇입니까? 언제 인류가 숫자를 사용하고 그들과 함께 일하기 시작 했습니까? 사람이 그의 삶과 세계관의 분리 할 수없는 부분을 만든 숫자, 분수, 뺄셈, 덧셈과 곱셈과 같은 평범한 개념의 뿌리는 어디에 있습니까? 고대 그리스인 정신은 수학, 산술 및 기하학과 같은 과학을 인간 논리의 가장 아름다운 교향곡으로 존경했습니다.

아마도 산술은 다른 과학만큼 깊지는 않지만, 그들에게 무슨 일이 일어 났을까요, 초승달의 곱셈 테이블을 잊어 버리시겠습니까? 인물, 분수대 및 기타 도구를 사용하는 일반적인 논리적 사고는 사람들에게 쉽게 주어지지 않았고, 오랜 기간 동안 우리 조상에게는 유용하지 않았습니다. 사실, 산술의 발전 이전에, 인간 지식의 영역은 진정으로 과학적이었습니다.

산술은 수학의 알파벳입니다.

산술은 어떤 사람이 매혹적인 수학의 세계에 익숙해지기 시작하는 숫자의 과학입니다. 로 노노 쇼프 (M. Lomonosov)는 말하기를 산술은 장학금의 출입구이며, 이는 우리에게 세계 지식의 길을 열어 준다. 그러나 그는 맞습니다. 세계에 대한 지식은 숫자와 문자, 수학 및 연설에 대한 지식과 분리 될 수 있습니까? 아마도 옛날에는 과학 기술의 급속한 발전이 법을 규정하는 현대 사회에서가 아니라.

그리스 산의 "산수"(그리스어 "arithmos")라는 단어는 "숫자"를 의미합니다. 그녀는 그와 관련된 수와 모든 것을 연구합니다. 이것은 숫자의 세계, 숫자에 대한 다른 행동, 수치 규칙, 곱셈, 뺄셈 등의 문제를 해결합니다.

산술은 수학의 초기 단계이며 대수학, 수학 분석, 고등 수학 등과 같은보다 복잡한 부분에 대한 견고한 토대가 일반적으로 받아 들여집니다.

산술의 주요 대상

산술의 기초는 높은 산술 또는 수론 에서 속성과 규칙 성을 고려한 정수입니다 . 사실, 전체 건물의 힘 - 수학은 자연수와 같은 작은 블록을 고려할 때 정확한 접근법이 얼마나 잘 수행되는지에 달려 있습니다.

따라서 산수가 무엇인가에 대한 질문은 간단히 대답 할 수 있습니다. 그것은 숫자의 과학입니다. 그렇습니다. 평소 7, 9, 그리고이 모든 다양한 지역 사회에 관한 것입니다. 그리고 초등 알파벳 없이는 좋고 평범한시를 쓸 수 없듯이 산수가 없으면 초등 문제도 해결할 수 없습니다. 그래서 모든 과학은 수학과 수학의 발전 이후에 발전했으며, 모든 일련의 가정이 시작된 것입니다.

산술 - 팬텀 과학

산술 - 자연 과학 또는 팬텀이란 무엇입니까? 사실, 고대 그리스 철학자들이 주장했듯이, 현실에는 숫자 나 숫자가 없습니다. 이것은 프로세스와 함께 환경을 고려할 때 인간의 생각에서 만들어지는 유령입니다. 사실 숫자가 무엇입니까? 아무 데서도 그 숫자를 볼 수는 없지만 숫자는 숫자라고 할 수 있습니다. 숫자는 세상을 연구하는 인간 마음의 한 방법입니다. 그리고 아마도 이것은 내면에서의 연구일까요? 철학자들은 수세기 동안이 문제에 대해 논쟁을 벌 였으므로 철저한 답을하지 않습니다. 어떤 방식 으로든, 산수는 오늘날의 세계에서 아무도 그 기초에 대한 지식 없이는 사회적으로 적응할 수 없다고 확고히 자리 매김했습니다.

자연수는 어떻게 나타 났습니까?

물론 산술에 의해 작동되는 주 객체는 1, 2, 3, 4, ..., 152 ... 등과 같은 자연수입니다. 자연수의 산술은 일반적인 개체 (예 : 초원에있는 소)를 계산 한 결과입니다. 그러나 "많은"또는 "작은"의 정의는 사람들에게 어울리지 않게되었고, 더 세밀한 계산 기법을 고안해야했습니다.

그러나 실제 돌발 상황은 인간의 사고가 2kg의 벽돌과 2 개의 벽돌을 같은 수의 "2 개"로 지정할 수있게되었을 때 발생했습니다. 사실은 객체의 양식, 속성 및 의미에서 추상화해야하고 그런 다음 이러한 객체로 자연수 형태로 일부 작업을 수행 할 수 있다는 것입니다. 이것은 숫자의 산술이 어떻게 태어 났으며, 더 발전하고 확장되어 사회 생활에서보다 큰 지위를 점했습니다.

0과 음수, 분수, 숫자로 된 숫자 지정 및 기타 방법과 같은 숫자의 깊이있는 개념은 풍부하고 흥미로운 개발 역사를 가지고 있습니다.

산술 및 실용적인 이집트인

주변 세계를 연구하고 일상적인 문제를 해결하는 데있어 가장 오래된 인간 동료 중 두 명은 산술 및 기하학입니다.

산수의 역사는 고대 동양 : 인도, 이집트, 바빌론, 중국에서 비롯된 것으로 생각됩니다. 따라서, 이집트 출신의 린다 (Rinda)의 파피루스 (그것은 같은 이름의 소유주이기 때문에 그렇게 지명 됨)는 XX 세기로 거슬러 올라간다. 다른 중요한 데이터를 제외하고 BC는 다른 분모와 분자가 1 인 분수의 합으로 한 분수의 분해를 포함합니다.

예 : 2/73 = 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365.

그런 복잡한 분해의 요점은 무엇입니까? 사실 이집트의 접근법은 숫자에 대한 추상 된 사고를 용인 할 수 없으며, 계산은 실용적인 목적으로 만 이루어진 것입니다. 즉 이집트인은 예를 들어 무덤을 짓기 위해 계산과 같은 일을 처리 할 것입니다. 그것은 구조의 가장자리의 길이를 계산하는 것이 필요했습니다, 그리고 이것은 사람이 파피루스에 앉을 것을 강요했습니다. 분명히 계산의 이집트 진보는 과학에 대한 사랑이 아니라 거대한 건설에 의한 것이 었습니다.

이런 이유로, 파피루스에서 발견 된 계산은 분수에 대한 반사라고 할 수 없습니다. 이것은 실제로 미래의 분수 문제를 해결하는 데 도움이되는 실질적인 조달입니다. 곱셈 테이블을 모르는 고대 이집트인들은 오히려 계산 시간이 길고 많은 하위 작업으로 분해되었습니다. 아마도이 하위 작업 중 하나 일 것입니다. 그러한 준비를 가진 계산이 매우 힘들고 거의 예상 할 수 없다는 것을 보는 것은 어렵지 않습니다. 아마도 이런 이유로 고대 이집트가 수학 발전에 크게 기여한 것을 볼 수 없습니다.

고대 그리스와 철학적 산술

고대 동양에 대한 많은 지식은 추상적이고 추상적이며 철학적 인 반성을 가진 고대 그리스인들에 의해 성공적으로 습득되었습니다. 그 (것)들의 연습은 더 적은 관심사의, 그러나 제일 이론가 및 사상가를 찾아내는 것은 곤란했다. 현실로 깨지 않고 산수를 파헤치는 것은 불가능하기 때문에 과학의 이익을 얻었습니다. 물론 젖소 10 마리와 우유 100 리터를 번식 할 수는 있지만 멀지는 않을 것입니다.

그리스인들이 역사에 중요한 표시를 남겼다는 것을 깊이 생각하고 그들의 글들이 우리에게 도달했습니다 :

• 유클리드와 "시작."
• 피타고라스.
• 아르 키 메데스.
• 에라 토 스테 네스.
• 제논.
• Anaxagoras.

그리고 그리스인들은 모든 것을 철학으로, 특히 피타고라스 사건의 연속체로 바꾸는 것은 숫자에 너무나 예리해서 그들이 세계의 조화의 신비라고 생각했습니다. 숫자는 너무 연구되고 연구되어서 그 중 일부와 그 쌍은 특별한 속성으로 귀결되었다. 예 :

• 완벽한 숫자는 숫자 자체 (6 = 1 + 2 + 3)를 제외하고 모든 약수의 합계와 동일한 숫자입니다.
• 친숙한 숫자는 숫자이고, 그 중 하나는 두 번째의 모든 약수의 합과 같습니다. 그 반대도 마찬가지입니다 (피타고라스 사람들은 220과 284와 같은 쌍을 알고있었습니다).

과학을 사랑할 필요가 있다고 생각하고 이익을 얻기 위해 그녀와 함께하지 않아야한다고 생각한 그리스인은 대성공을 거두고 숫자를 찾고, 놀고 추가했습니다. 그들의 발견이 모두 폭넓게 적용되는 것은 아니며, 일부는 "아름다움만을위한 것"으로 남아 있다는 점에 주목해야한다.

중세의 동양 사상가들

마찬가지로, 중세 시대에, 산수는 동부 현 시대의 사람들에게 발전을 가져 왔습니다. 인디언들은 우리가 "0"과 같은 용어와 현대 인식에 익숙한 미적분 시스템 의 위치 버전 을 적극적으로 사용하고있는 모습을 보여주었습니다. 15 세기 사마르 칸트에서 일했던 알 카샤 (Al-kasha)에서 우리는 십진법 을 물려 받았고 , 현대의 산술을 상상하기는 어려웠습니다.

여러면에서 동양의 업적에 대한 유럽의 친분은 동방의 혁신을 소개하는 책 "The Abacus Book"을 쓴 이탈리아 과학자 Leonardo Fibonacci의 연구 덕분에 가능하게되었습니다. 그것은 유럽의 대수학 및 산술, 연구 및 과학 활동의 발전의 토대가되었습니다.

러시아 산수

그리고 마침내, 그 자리를 찾고 유럽에 뿌리를 둔 산수가 러시아 땅으로 퍼지기 시작했습니다. 러시아 최초의 산수는 1703 년에 출판되었습니다. Leonty Magnitsky의 산수에 관한 책이었습니다. 오랫동안 수학에 관한 유일한 교습 매뉴얼이었습니다. 그것은 대수와 기하학의 초기 모멘트를 포함합니다. 러시아 산수, 아랍어의 첫 번째 예제에서 사용 된 피규어. 비록 아라비아 숫자가 17 세기부터 거슬러 올라가는 조각상에서 더 일찍 발생했습니다.

이 책 자체는 아르키메데스 (Archimedes)와 피타고라스 (Pythagoras)의 이미지로 장식되어 있으며 첫 번째 시트에는 여자 형태의 산술 이미지가 장식되어있다. 그녀는 보좌에 앉았고 히브리어로는 하느님의 이름을 나타내는 단어를 쓰고 보좌로 나아가는 단계에 "분열", "곱셈", "덧셈"등이 새겨 져 있습니다. 그 중 하나는 배신 된 의미를 상상할 수 있습니다. 그러한 진리는 이제 평범한 것으로 간주됩니다.

600 페이지의 교과서는 덧셈 및 곱셈 테이블과 같은 기본 사항과 탐색 과학에 대한 응용 프로그램을 모두 설명합니다.

저자가 산수의 아름다움에 사로 잡혀서 "산수는 분자이며, 정직하고, 비경제적인 예술이있다 ..."라는 이유로 그의 저서에 대한 그리스 사상가의 이미지를 선택했다는 것은 놀라운 일이 아닙니다. 이 산술에 대한 접근법은 러시아와 일반 교육에서의 과학 사상의 급속한 발전의 시작으로 간주 될 수 있기 때문에 충분히 정당화됩니다.

불안정한 소수

소수는 1과 그 자체 만이 2 개의 양수 약수를 갖는 자연수 입니다. 1을 제외하고 다른 모든 수는 합성이라고합니다. 소수의 예 : 2, 3, 5, 7, 11 및 기타 제수가없는 다른 모든 숫자 (숫자 1과 자신 제외)

번호 1은 특별 계정에 있습니다. 단순하거나 복잡한 것으로 간주되어서는 안된다는 신념이 있습니다. 첫눈에 단순한 간단한 숫자는 자신 안에 미해결 된 많은 신비를 은폐합니다.

유클리드의 정리에 따르면, 소수는 무한한 집합이고, 에라 토 스테 네스 (Eratosthenes)는 간단한 숫자 만 남기고 불안정한 숫자를 흩어내는 특별한 산술 "체"를 생각해 냈습니다.

그것의 본질은 강조되지 않은 첫 번째 숫자를 강조하는 것이며, 미래에는 여러 개의 숫자를 삭제하는 것입니다. 우리는이 과정을 여러 번 반복하고 소수의 표를 얻습니다.

산술의 주요 정리

소수에 대한 관찰 중에서 우리는 특별한 방식으로 산술의 기본 정리를 언급 할 필요가있다.

산술의 기본 이론은 1보다 큰 정수는 단순하거나 고유 한 방식으로 요인의 순서 내에서 소수의 곱으로 분해 될 수 있다고 말합니다.

산술의 주요 정리는 다소 번거롭고 그 이해는 더 이상 단순한 기초와 유사하지 않습니다.

언뜻보기에 소수는 기본 개념이지만 이것이 그렇지 않습니다. 물리학은 또한 한 번 원자 초등을 고려했고, 그 안에 전체 우주를 발견했습니다. 수학자 Don Tsagir의 아름다운 이야기 "최초 5000 만개의 소수"는 소수에 쓰입니다.

"세 사과"에서 연역법에 이르기까지

진실로 과학 전체의 강화 된 기초라고 할 수있는 것은 산술의 법칙입니다. 어렸을 때 인형의 다리와 펜의 수, 입방체 수, 사과 등을 연구하는 모든 사람들은 산술에 직면 해 있습니다. 그래서 우리는 더 복잡한 규칙을 따르는 산수를 연구합니다.

우리의 평생은 산술의 규칙을 우리에게 익숙하게합니다. 그것은 산 인간에게 과학이주는 모든 것에 가장 유용합니다. 숫자의 연구는 유아기의 숫자 형태로 숫자 세계에 사람을 소개하는 산술 아기입니다.

고등 산술은 산술 법칙을 연구하는 연역적 과학입니다. 그들 중 대부분은 우리가 알고 있지만, 아마도, 우리는 그들의 정확한 공식을 모른다.

덧셈과 곱셈의 법칙

임의의 두 자연수 a 및 b는 a + b로 표현 될 수 있으며, 이는 또한 자연수이다. 추가와 관련하여 다음 법률이 적용됩니다.

• 그 합계가 장소에서의 summands의 순열로부터 변화하지 않는다고 말하는 가설적인 표현 , 또는 a + b = b + a.
• 이 합계는 합계가 자릿수를 그룹화하는 방법이나 + (b + c) = (a + b) + c에 의존하지 않는다고 말합니다.

추가와 같은 산술 규칙은 초등 중 일부이지만 일상 생활은 물론 모든 과학에서 사용됩니다.

임의의 2 개의 자연수 a 및 b는 자연수 인 a * b 또는 a * b 곱으로 표현 될 수 있습니다. 동일한 교환 적 및 연합 적 법률이 추가와 관련하여 제품에 적용됩니다.

• A * b = b * a;
• A * (b * c) = (a * b) * c.

분배 및 분배 법이라고도 불리는 더하기와 곱셈을 결합하는 법칙이 있다는 것은 흥미 롭습니다.

A (b + c) = ab + ac

이 법칙은 사실 우리에게 괄호로 작업하도록 가르쳐 주며, 따라서 더 복잡한 수식으로 작업 할 수 있습니다. 이것은 정확하게 대수학의 기괴하고 복잡한 세계를 안내 할 법칙입니다.

산술 명령의 법칙

주문 법칙은 시계를 비교하고 계산서를 계산하면서 매일 인간의 논리를 사용합니다. 그럼에도 불구하고 구체적인 공식화의 형식으로 공식화해야합니다.

두 개의 자연수 a와 b가있는 경우 다음 옵션을 사용할 수 있습니다.

• A는 b 또는 a = b이고;
• A가 b보다 작거나 a가
• A는 b보다 크거나 a> b입니다.

세 가지 옵션 중 하나만 공평하게 사용할 수 있습니다. 순서를 지배하는 기본법은 a

순서를 곱셈과 덧셈의 동작과 연결시키는 법칙도 있습니다. a

산술 법칙은 번호, 기호 및 괄호로 작업하여 모든 것을 조화로운 수의 교향곡으로 만들어줍니다.

위치 및 비 위치 계산 시스템

우리는 숫자가 수학의 언어라고 말할 수 있습니다. 미적분의 많은 체계가 있습니다, 다른 언어의 알파벳처럼, 서로 다릅니다.

이 위치에있는 숫자의 양적 가치에 대한 위치의 영향의 관점에서 숫자 시스템을 고려하십시오. 예를 들어, 로마자 시스템은 위치가 맞지 않습니다. 각 숫자는 I / V / X / L / C / D / M의 특수 기호 세트로 코딩됩니다.이 기호는 1/5/10/50/100/500 / 1000 그러한 시스템에서 숫자는 그 의미에 따라 정량적 인 정의를 변경하지 않습니다 : 첫 번째, 두 번째 등. 다른 숫자를 얻으려면 기본 숫자를 추가해야합니다. 예 :

• DCC = 700.
• CCM = 800.

우리에게 익숙한 숫자 체계 는 아라비아 숫자를 사용합니다. 이러한 시스템에서 숫자는 숫자의 수를 결정합니다 (예 : 3 자리 숫자 : 333, 567 등). 임의의 숫자의 가중치는이 숫자 또는 해당 숫자가있는 위치에 따라 달라집니다. 예를 들어 두 번째 위치의 숫자 8은 80의 값을 갖습니다. 이것은 10 진수 시스템의 특성이며 다른 위치 지정 시스템 (예 : 2 진)이 있습니다.

2 진 산술

우리는 한 자리 숫자와 여러 자리 숫자로 구성된 계산의 십진법에 익숙합니다. 왼쪽에있는 자릿수는 오른쪽에있는 것보다 10 배 더 중요합니다. 그래서 우리는 2, 17, 467 등을 읽곤했습니다. 이진 산술 (binary arithmetic)이라고 불리는이 섹션에 대한 완전히 다른 논리와 접근법입니다. 이진 산술은 사람의 논리가 아니라 컴퓨터를 위해 만들어지기 때문에 이것은 놀라운 일이 아닙니다. 숫자의 산술이 나중에 개체의 속성에서 "노출 된"산술로 추상화 된 개체 계산에서 발생한 경우이 작업은 컴퓨터에서 작동하지 않습니다. 자신의 지식을 컴퓨터와 공유하려면 사람이 그러한 계산 모델을 만들어야했습니다.

이진 산술은 0과 1로만 구성된 이진 알파벳으로 작동합니다.이 알파벳의 사용은 미적분의 이원계라고합니다.

이진 산술과 소수점의 차이점은 왼쪽에있는 위치의 중요성이 더 이상 10이 아니라 2 번이라는 것입니다. 이진수는 형식이 111, 1001 등입니다. 어떻게 그러한 숫자를 이해합니까? 그래서 숫자 1100을 고려하십시오.

1. 왼쪽의 첫 번째 숫자는 1 * 8 = 8이며, 네 번째 숫자가 기억되므로 2로 곱해야합니다. 그러면 위치 8이됩니다.
2. 두 번째 숫자는 1 * 4 = 4 (위치 4)입니다.
3. 세 번째 숫자는 0 * 2 = 0 (위치 2)입니다.
4. 네 번째 숫자는 0 * 1 = 0 (위치 1)입니다.
5. 그래서, 우리의 숫자는 1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12입니다.

즉, 왼쪽의 새 숫자로 전환하면 이진 시스템의 중요도에 2가 곱 해지고 소수점에는 1이 곱 해집니다.이 시스템에는 숫자가 너무 많아서 숫자를 작성하는 데 필요한 마이너스가 하나 있습니다. 두 자리 숫자의 형식으로 10 진수를 나타내는 예는 다음 표에서 찾을 수 있습니다.

이진 형식의 십진수는 다음과 같습니다.

또한 미적분의 8 진수 및 16 진수 시스템이 사용됩니다.

이 신비한 산술

숫자의 산술, "2 배의 2"또는 알려지지 않은 신비는 무엇입니까? 보시다시피, 산수는 처음에는 단순 해 보일 수 있지만, 그 명백한 용이성은 기만적입니다. 그것은 "Arithmetic-baby"라는 만화에서 Sova 이모와 함께 공부할 수 있으며, 거의 철학적 인 순서에 대한 심오한 과학 연구에 몰두할 수 있습니다. 역사상 그녀는 물건 세기에서 숫자의 아름다움 숭배로 갔다. 오직 한 가지 확실한 점은 산술의 기본 가정을 확립하면 모든 과학이 강한 어깨에 의존 할 수 있다는 것입니다.