푸리에 변환. 고속 푸리에 변환. 이산 푸리에 변환

푸리에 변환 - 변환, 실제 변수의 특정 기능을 연관. 이 작업은 우리가 다른 소리를 감지 할 때마다 실행된다. 귀는 더 높은 수학의 섹션의 시험 후 우리의 의식 할 수있는 사항을 충족 자동 "계산"을 생산하고 있습니다. 인간 형질 전환에 장기 청력 사운드 (고체, 액체 또는 기체 매질에서 파형으로 전파하는 탄성 매체 종래 진동 동작 입자)는 다양한 높이의 톤의 볼륨 레벨의 연속적인 값의 범위로 제공되는, 생성한다. 이 후, 두뇌는 모든 익숙한 소리에 정보를집니다.

수학 푸리에 변환

(발광 해양 조류에 의해 별 또는 태양 사이클) 수행 될 수 있고, 수학적 방법에 의해 음파의 진동 또는 다른 공정의 전환. 따라서, 이들 기술을 이용하여 기능이 바다의 파도처럼, 최소 후 다시 최대 최소으로부터 이동 정현파 성분, 즉 물결 모양의 진동 곡선 설정 공정을 도입함으로써 확장 될 수있다. 푸리에 변환 - 특정 주파수에 대응하는 각 정현파의 위상 또는 진폭을 설명 변환 함수. 위상 곡선, 진폭의 출발점 - 그 높이.

푸리에 변환 (예를 사진으로 나타내었다) 과학 등 다양한 분야에서 사용되는 매우 강력한 도구이다 변환. 경우에 따라서는 용액으로 광, 열 또는 전기 에너지의 영향으로 발생하는 동적 인 프로세스를 설명하는 다소 복잡한 방정식을 사용한다. 다른 경우에, 화학, 의학, 천문학에 다양한 실험 관찰을 해석 할 사실이 있습니다이 때문에 당신은 복잡한 파형에서 일반 구성 요소를 정의 할 수 있습니다.

기록 정보

이 방법을 적용 할 첫 번째 사람은 프랑스의 수학자 잔 배티스트 퍼했다. 이후 그의 이름을 따서 명명 변환, 원래 열 전도 메커니즘을 설명하는 데 사용되었다. 열의 속성을 연구에 종사하는 그의 전체 성인 생활을 푸리에. 그는 대수 방정식의 뿌리의 결정의 수학적 이론에 엄청난 기여를했다. 푸리에 에콜 폴리 테크닉 대학, 이집트 학 연구소의 장관에서 분석의 교수였다 (그의지도 아래 말라리아 늪의 이상 80,000km2의 배수되었다) 토리노에 도로의 건설시에 혼란을 야기 황실 서비스였다. 그러나이 모든 행동은 수학적 분석에 종사하는 과학자를 멈추지 않았다. 1802에서 고체의 열 전달을 설명하는 식을 유도 하였다. 1807 년 과학자 "푸리에 변환"로 알려졌다이 방정식을 해결하는 방법을 발견했다.

열전도 해석

연구자는 열 전도 메커니즘을 설명하는 수학적 방법을 사용 하였다. 계산에 어려움이 열 에너지의 전달은 철 고리가없는 것을 특징으로하는 편리한 예는, 한 부분은 화재에 침지. 수행하기 위해 실험은 반지의 레드 핫 일부를 푸리에과 고운 모래에 묻어. 그 후, 온도 측정은 이들의 대향 부에서 수행. 초기에, 열 분포가 불규칙 : 링 부분 - 감기 및 다른 - 고온 구역 사이에서 관찰 할 수있는 급격한 온도 구배. 그러나, 상기 금속 표면에 걸쳐 열 분배 중에,보다 균일해진다. 그래서, 곧,이 과정은 정현파의 형태를 취한다. 우선 그래프가 점차 증가하고 또한 원활 코사인 또는 사인 함수의 변화를 정확하게 법을 감소시킨다. 웨이브 서서히 균일화하고 그 결과 온도는 링의 전체면에 균일하게된다.

이 방법의 저자는 초기 분포 초등학교 정현파들로 분해 될 수있는 매우 불규칙한 것으로한다. 그들 각각은 단계 (초기 위치) 및 최대 온도를 가질 것이다. 따라서 최소의 각각의 이러한 구성 요소의 변화는 최대로 다시 링 정수배 주위에 회전을 수행한다. 기본 고조파 불렸다 기간 및 2 개 이상의 기간으로 값을 갖는 구성 요소 - 상기 제 등. 예를 들어, 최고 온도를 설명하는 수학적 함수는 위상 또는 위치 푸리에 분포 함수의 변환했다. 초기 배포를주는 양, 사인 및 코사인의 행 - 과학자는 사용하기 쉬운 툴, 수학적 설명하기 어려운 단일 구성 요소를 가져왔다.

분석의 본질

고리 형상의 입체물에 열 분포의 변환이 분석을 적용 수학자는 정현파 성분의 증가주기가 빠른 댐핑 이어질 것으로 추론. 이 명확하게 주와 두 번째 고조파에 볼 수 있습니다. 최종 온도는 단일 패스에서 두 최대 값 및 최소값에 도달하고, 제 1의 - 번만. 그것은 제 2 고조파에서 열이 이동 거리가 코어의 절반 인 것으로 나타났다. 또한, 후반의 기울기는 상기 제보다 급격 할 것이다. 더 강한 열 플럭스 과부 최소 거리를 통과 이후 따라서,이 시간의 함수로서, 메인보다 4 배 빠른 고조파 감쇠한다. 다음 과정에서 더 빨리 될 것입니다. 수학자는이 방법이 우리가 시간과 온도의 초기 분포의 과정을 계산할 수 있습니다 믿었다.

전화 동시대

푸리에 변환 알고리즘은 수학 시간의 이론적 토대에 도전이되고있다. 19 세기 초에, 라그랑주, 라플라스, 푸 아송, 르장 드르와 비오 포함한 대부분의 저명한 과학자들은 초기 분포의 온도가 기본 파 및 높은 주파수의 형태로 구성 요소로 분해 그의 주장을 받아들이지 않았다. 그러나 과학 아카데미는 수학자를 얻은 결과를 무시하고 법률의 열 전도의 이론 그에게 상을 수상뿐만 아니라, 실제 실험과의 비교를 수행 할 수 없었다. 푸리에 접근법에서, 메인 이의 불연속 함수는 연속 몇 정현파 함수의 합으로 표현된다는 점이다. 결국, 그들은 직선 파열 곡선을 설명합니다. 현대 과학자는 이러한 상황을 발생하지 않았던 때 등, 차 선형, 사인 또는 전시 등의 연속의 조합에 의해 설명 된 불연속 기능. 수학자 그의 주장에서 오른쪽이라고 경우에는, 삼각 함수의 무한 급수의 합은 정확한 속도로 제한한다. 이러한 주장은 터무니없는 것 같았다 동안. 그러나 일부 연구자들 (예를 들어 클로드 나 비어, 태그 Sofi Zhermen)의 의심에도 불구하고 연구의 범위를 확대하고 열 분포의 분석에서 그들을 가져왔다. 수학 한편, 여러 사인 함수의 합 파열의 정확한 표현으로 감소 여부의 질문을 고통을 계속했다.

200 년의 역사

이 이론은 두 세기에 걸쳐 진화, 오늘은 드디어 형성된다. 상기 공간 또는 시간 함수의 도움으로, 주파수, 위상 및 진폭이 정현파 성분으로 분해된다. 이러한 전환은 두 가지 수학적 방법에 의해 얻어진다. 소스는 연속 함수, 두번째 경우 그 중 첫 번째 경우에 사용된다 -가 이산 개별 변경 복수로 표시되는 경우. 기본적인 위 등에 최저로부터 후 두배, 세배,과 - 발현이 이산 간격으로 정의 된 값으로부터 얻어지면, 이것은 여러 이산 사인 주파수 표현으로 분할 될 수있다. 이 금액이라고 푸리에 급수. 초기 표현 각 실수의 값을 설정하는 경우에는 다수의 정현파 가능한 모든 주파수들로 세분화 될 수있다. 그것은 적분 푸리에이라고하며 결정 적분 함수의 변화를 의미한다. 관계없이 두 숫자 나타내야 각 주파수에 대해, 변환을 얻는 방법 : 진폭 및 주파수. 이러한 값은 단일로 표현 복소수. 계산을 수행하기 위해 함께 퓨리에 변환 식 복소 변수 이론 각종 전기 회로의 설계를 허용 기계적 진동 분석, 전파기구와 다른 연구.

푸리에 오늘 변환

현재,이 과정의 연구는 기본적으로 마음으로 다시 변환 기능으로의 전환을위한 효과적인 방법을 찾기로 요약된다. 이 용액을 직접 및 역 푸리에 변환이라고한다. 그것은 무엇을 의미 하는가? 하기 위해서는 적분을 결정 하고 직접 푸리에 변환 할, 당신은 수학적 방법을 사용할 수 있지만 분석 할 수 있습니다. 그들이 실제로 사용하는 경우 어려움이 있다는 사실에도 불구하고, 대부분의 적분은 이미 발견 된 수학적 수첩에 들어갔다. 수치 방법의 도움으로 계산 될 수 표정, 어떤 형상의 실험 결과, 표에 적분 값이없는 그 기능에 기초하여, 이들은 분석 형태로 생각하기 어렵다된다.

이러한 변형은 매우 지루왔다 컴퓨터 공학 계산 도래하기 전에, 그들은 파동 함수를 설명하는 포인트의 수에 의존하는 연산들의 다수의 수동 실행을 요구한다. 새 구현할 수 특별 프로그램,가, 오늘 해결을 용이하게하기 위해 분석 방법. 그래서, 1965 년, Dzheyms Kuli 및 Dzhon Tyuki는 "고속 푸리에 변환"로 알려진 소프트웨어를 만들었습니다. 이 곡선의 분석에 승산의 수를 줄임으로써 계산 시간을 저장한다. 이 방법은 균일 한 샘플 값의 다수로 곡선 분할에 기초한다 "고속 푸리에 변환". 따라서, 곱셈의 수는 포인트의 양을 줄이고 동일에서 반으로 감소된다.

푸리에 변환 적용

이 프로세스는 다양한 분야에서 사용된다 :에 수론, 물리학, 신호 처리, 조합론, 확률 이론, 암호화, 통계, 해양, 광학, 음향, 및 다른 형상. 그것의 사용에 대한 풍부한 가능성이라고 유용한 기능의 수를 기준으로 "푸리에 변환의 특성." 우리가 그들을 살펴 보자.

1. 변환 함수는 선형 연산자이며, 대응하는 정규화 단위이다. 이 속성은 Parseval 정리로 알려진, 또는 일반적인 경우에, 정리 Plansherelja 또는 Pontrjagin 이원론된다.

2. 변환은 가역적이다. 또한, 반대 결과는 직접적인 어드레싱에서와 실질적으로 유사한 형상이다.

3. 사인 기본적인 표현은 자신의 차별화 된 기능입니다. 이는 표현을 변경하는 것을 의미 선형 방정식 종래의 대수에 일정한 계수를.

4. "회선"이론에 따르면, 처리는 기본 승산에 복잡한 동작을한다.

이산 푸리에 변환 5. 신속하게 "빠른"방법을 사용하여 컴퓨터에 설계 할 수있다.

푸리에 변형 변환

1. 가장 자주 용어는 특정 각 주파수 및 진폭을 가진 복소 지수 표현의 합 같은 차적 적분 표현을 제공하는 연속적인 변환을 참조하기 위해 사용된다. 이 종은 다른 일정 계수 할 수있는 몇 가지 다른 형태를 가지고 있습니다. 연속 방법은 수학 핸드북에서 발견 될 수있는 변환 테이블을 포함한다. 일반화 된 경우,이 프로세스는 원하는 실시간 전력 상승 될 수있다 소수 변환된다.

2. 연속적인 표면 처리 방법은 정의 푸리에 급수 이전 기술의 일반화 주기 함수 한정된 영역에 존재하고 정현파 일련으로 그들을 표현 또는 표현.

3. 이산 푸리에 변환. 이 방법은 계산 과학 및 디지털 신호 처리를위한 연산에 사용된다. 이러한 종류의 계산을 수행하기 위해 개별적인 포인트 주기적 또는 제한된 영역 대신 연속 푸리에 적분의 이산 세트를 결정하는 단계에서의 기능을 갖도록 요구된다. 이 경우, 신호 변환은 정현파의 합으로 표현된다. "빠른"방법의 사용은 모든 실제적인 목적을 위해 디지털 솔루션을 사용할 수 있습니다.

4. 푸리에 변환 윈도우는 고전적인 방법의 일반화이다. 이 변수의 존재의 전체 범위에서 촬영 된 신호 스펙트럼을 사용하는 표준 용액과 달리 여기서 특히 중요한 일본어 변수 (시간)을 유지하면서 로컬 주파수 분포이다.

제 이차원 푸리에 변환. 이 방법은 데이터의 2 차원 배열로 작동하는데 사용된다. 다른에서 -이 경우, 전환은 일 개 방향으로 수행된다.

결론

오늘날, 푸리에 방법은 단단히 과학의 다양한 분야에서 입지를 굳힌된다. 예를 들어, 1962는 X 선 회절과 함께 푸리에 분석을 사용하여 DNA 이중 나선의 형상을 열었다. 최근 결정 막에 기록되는 회절에 의해 얻어진 화상, 결과적으로 DNA 섬유에 초점을 맞추었다. 이 그림은 푸리에 변환이 결정 구조로 변환하여, 진폭 값에 대한 정보를 주었다. 유사한 화학 구조의 분석에서 수득되는 카드와 DNA 회절 카드를 비교하여 얻어진 위상 데이터. 따라서, 생물학 결정 구조를 복원 - 원래 기능.

푸리에 우주, 반도체 재료 및 플라즈마, 전자 음향, 해양학, 레이더, 지진학 및 건강 검진의 물리학의 연구에 큰 역할을 변환.