평면의 방정식은 어떻게 만들어? 유형 평면 방정식

평면 공간은 다른 방법 (등 하나의 점과 벡터 벡터 및 두 지점, 셋 포인트)에서 정의 될 수있다. 그것은이 마음에와, 평면 방정식은 서로 다른 유형을 가질 수있다. 또한, 특정 조건이 평면 일 수있다 평행, 수직 교차 등 이에이 문서에서 이야기합니다. 우리는 평면과 단지의 일반 식을 배우게됩니다.

방정식의 정규형

R은 직각 시스템 XYZ 좌표 갖는 공간 _(3), 가정하자. 우리는 벡터 α의 단부를 통해 시작점 O.로부터 방출 될 벡터 α는, 그것에 수직 인 평면 P 그릴 정의한다.

임의의 점 Q = (X, Y, Z)에 P를 나타낸다. 포인트 Q 기호 문자 P의 반경 벡터. 벡터의 길이는 p = α 및 IαI Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ)에 동일하다.

벡터 α와 같은 방향으로 지향이 단위 벡터. α, β 및 γ는 - (Z)는 각각 벡터 및 양의 방향 사이에 형성되는 각도 Ʋ 공간 축 X, Y는,이다. 벡터 QεP Ʋ상의 점의 투영이 P (p, Ʋ) = P (r≥0)와 동일하다 상수이다.

상기 식 때 p = 0 의미이다. 그 방향은 벡터 Ʋ 판정 것을 의미하지만,이 경우 만 해당면은, P에 직교 될 점 O로부터 방출 원점으로 점 O (α = 0), 및 단위 벡터 Ʋ를 교차 할 부호까지. 이전 식 우리 평면 P이고, 벡터 형태로 표현. 그러나 그 좌표의 관점에서이다 :

P보다 크거나 우리는 정상 형태의 평면 방정식을 발견 0과 동일하다.

일반 식

좌표에서식이 0이 아닌 숫자를 곱하면, 우리는 매우 평면을 정의하는 방정식이 상당 얻었다. 그것은 다음과 같은 형식을 갖습니다 :

여기서, A는 B, C는 - 제로 다른 동시의 수이다. 이 방정식은 평면의 일반적인 형태의 방정식이라고한다.

평면의 방정식. 특별한 경우

방정식은 일반적으로 추가적인 조건 변경 될 수있다. 그들 중 일부를 생각해 보자.

계수 A가 0임을 나타내는 가정이 그 소정 황소 축에 평행 한 평면. 이 경우, 수학 식의 형태로 변경 : 우 + Cz에 + D = 0.

마찬가지로, 방정식의 형태는 다음과 같은 조건에 따라 변화한다 :

• 우선, B = 0으로하면, 축에 평행 오이를 나타낼 것이다 액스 + Cz에 + D = 0 방정식 변화.
• 둘째로, C = 0 인 경우 방정식 액스 바이 + D + = 0으로 변환되고, 그 소정의 축에 평행 오즈 대해 말하는 것이다.
• 셋째, D = 0 인 경우 방정식은 평면 O (원점)을 교차하는 것을 의미 도끼 + Cz에 의해 + = 0으로 표시한다.
• 넷째, 만약 A = B = 0, 옥시 병렬 증명할 것이다 Cz에 + D = 0 방정식 변화.
• 다섯째, B = C = 0 인 경우 방정식이 Oyz 평면에 평행 한 것을 의미 도끼 + D = 0이된다.
• A = C = 0 방정식 형태 우 D + = 0, 걸리면 여섯째, 즉 병렬 Oxz에보고한다.

세그먼트 식의 형태

경우 여기서 번호 A, B, C, D는 0에서 다른 식의 형태 (0)은 다음과 같이 할 수있다 :

X / A + Y / Z + B / C = 1,

상기 A = -D / A, B = -D / B, C = -D / C.

우리는 조각 비행기의 결과 식으로받을 수 있습니다. (0, B, 0), 오즈 - - (0,0, S)는이 평면 좌표 (a, 0, 0), 오이와 지점에서 X 축과 교차하는 것을 주목해야한다.

식 (X) / A + Y / Z + B / C = 1이면, 소정의 좌표 시스템에 배치 된 평면에 대하여 시각화 주어 어렵지 않다.

법선 벡터의 좌표

평면 P의 법선 벡터 n은 일반적으로 평면의 방정식, 즉, N (A, B, C)의 계수이다 좌표를 갖는다.

정상 (N)의 좌표를 결정하기 위해서, 소정 평면 일반 식 아는 것으로 충분하다.

보유 부분의 방정식을 사용하면 형태 X / A + Y / B + Z / C = 1 인 일반 식을 사용하면 상관 법선 벡터의 좌표를 기록 할 수있는 소정의면 (1 / A + 1 / B + 1 / C).

도움의 법선 벡터가 다양한 문제를 해결하기 위해 주목해야한다. 가장 일반적인 문제는 증거 수직 또는 평행 한 평면에서 평면 또는 평면과 직선 사이의 각도 사이의 각도를 찾는 작업을 구성하고 있습니다.

점 법선 벡터의 평면 방정식에 따른 좌표 입력

소정 평면에 직교하는 제로 벡터 N, 소정의 평면에 수직 (법선)했다.

좌표 공간에서 설정 Oxyz (a 직각 좌표계)한다고 가정하자 :

• Mₒ 좌표 점 (hₒ, uₒ, zₒ);
• 제로 벡터는 N = 1의 B *의 J + C *의 K를 + A *.

당신은 정상 N에 수직 Mₒ 점을 통과하는 평면의 방정식을 확인해야합니다.

공간에서는 임의의 지점을 선택하여 M (x, y, z)를 나타낸다. 될 각 점 M (x, y, z)의 반경 벡터하자 R *이 난의 Y *의 J +의 Z * k에 한 점 Mₒ 반경 벡터 (uₒ, hₒ, zₒ) + X = - rₒ = hₒ * 난 uₒ + * + * K zₒ J. 벡터 MₒM는 벡터 N에 수직 경우 점 M은, 소정의 평면에 속하는 것이다. 우리는 스칼라 제품을 사용 직교성의 상태를 쓰기 :

[MₒM, N = 0.

MₒM = R-rₒ 때문에, 평면의 벡터 방정식은 다음과 같을 것이다 :

[R - rₒ, N = 0.

이 방정식은 또 다른 형상을 가질 수있다. 이를 위해, 스칼라 제품의 특성 및 방정식의 왼쪽 변환. [R - rₒ, N] = [R, N] - [rₒ, N]. [rₒ, N]을 S로 표시하는 경우, 우리는 다음 식을 얻었다 : R, N] - A = 0 평면에 속하는 지정된 지점의 반경 벡터의 법선 벡터에 돌기 불변 표현 [R, N = s에.

이제 형 기록 평면 우리 벡터 식 좌표를 얻을 수있다 [R - rₒ, N = 0 이후 R-rₒ = (X-hₒ) * I + (Y-uₒ) * j 개의 + (Z-zₒ) * K 및 N = 1은 B의 * J + C 형의 K *를 + A *는, 우리가 :

우리가 식은 법선 N과 수직 인 점을 통과하는 평면이 형성되어있는 것이 밝혀졌다 :

A * (X hₒ)의 + B * (y를 uₒ)의 S * (Z-zₒ) = 0.

평면 방정식 및 벡터 평면 선상의 두 지점의 좌표에 따라 입력

우리는 임의의 두 점 M '(X', Y ', Z')과 M '(X', Y ', Z')뿐만 아니라, 벡터 (a '는 "는 ‴)를 정의한다.

이제 방정식 소정 기존의 포인트 M '및 M "통과하는 평면과 소정의 벡터의 좌표 M (x, y, z)을 병렬로 각각의 포인트를 작성할 수있다.

따라서 M'M 벡터 X = {X ', Y-Y', ZZ '} 및 M "M = {X"-x', Y ', Y', Z '가 -z'} 벡터와 동일 평면이어야 A = (a '는 "을 의미하는 ‴), 즉 (M M'M"M, a) = 0.

그래서 공간에서 비행기의 우리의 방정식은 다음과 같이 표시됩니다

평면 방정식의 유형, 3 점 교차

같은 라인에 속하지 않는, (X ‴ 유무 ‴, Z ‴), '(X (X', Y ', Z)', y ', z')는 :의 우리가 3 점 있다고 가정 해 봅시다. 이는 명시된 세 지점을 통과하는 평면의 방정식을 작성 할 필요가있다. 기하학 이론은 하나의 단지입니다, 비행기의이 종류가 존재한다고 주장한다. 이 평면이 교차 지점 이후의 (X ', Y', Z ')의 방정식 형태가 될 것이다 :

여기서, A, B 및 C를 동시에 제로 다르다. 또한, 소정의 평면 (X ', Y', Z ') 및 (X ‴, ‴ Y, Z ‴) 두 개 이상의 지점을 교차한다. 이와 관련 조건의이 종류를 수행해야한다 :

이제 일정한 시스템 만들 수 식 (선형)의 미지의 U, V, W를 가진 :

우리의 경우에는 X, Y 또는 Z는 식 (1)을 만족하는 임의의 시점을 나타낸다. (1) 식 및 식 (2) 상기 도면에 나타낸 식 (3) 시스템의 시스템을 고려 벡터 만족 N의 (A, B, C) 사소하다. 시스템의 결정이 제로이기 때문이다.

식 (1) 우리가 가지고 있음을,이 평면의 방정식이다. 3 점은 그녀는 정말 가고, 그것을 확인하기 쉽다. 이를 위해, 우리는 첫 번째 행의 요소에 의해 결정을 확장합니다. 기존 속성 행렬식은 (X ', Y', Z '), (X', Y ', Z') (X ‴, Y ‴, Z ‴) 우리 비행기 동시에 세 원래 소정 지점을 교차 것을 따른다. 그래서 우리는 우리 앞에 작업을하기로 결정했다.

평면 사이의 면각 각도

면각 각도는 직선으로부터 발산 개의 절반 평면에 의해 형성되는 공간의 기하학적 형상이다. 즉, 하프 평면에 한정되는 공간의 일부.

우리는 다음과 같은 식으로 두면이 있다고 가정 :

우리가 알고있는 벡터 N = (A, B, C) 소정의면에있어서 N¹ = (A¹, H¹, S¹)에 수직이다. 이와 관련하여, 이들면 사이에 위치 벡터 N과 N¹ 등각 (면각) 사이의 φ 각도. 스칼라 제품에 의해 주어진다 :

NN¹ = | N || N¹ | COS의 φ,

정확하게 때문에

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (+ AA¹ VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + + V² s² 임)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

그 0≤φ≤π을 고려하기에 충분하다.

실제로 교차하는 두 개의 평면 형상 두 각도 (면각) : φ _1, φ _2. 이들의 합은 (φ ₁ + ₂ φ = π)을 π와 동일하다. 그들의 코사인 용으로, 즉, COS ₁ φ = -cos φ ₂ 절대 값은 동일하지만 다른 _{기호이다.} 식으로 (0)은 각각 A, B 및 -A, -B의 C 및 -C, 수학 식으로 대체되는 경우, 우리는 구하는 방정식의 cos φ에서 φ 유일한 각도를 동일 평면을 결정 = NN ¹ / | N || N ¹ | 그것은 π-φ로 대체됩니다.

수직 평면의 방정식

평면으로 수직 불리는 이들 사이의 각도는 90도이다. 위에서 제시 한 물질을 사용하여, 우리는 다른 수직 한 평면의 방정식을 찾아 낼 수있다. 우리는 두 평면 있다고 가정 도끼 + + Cz에 의해 D + = 0, 및 + A¹h V¹u S¹z을 + D + = 0. 우리는 그들이 직교 말할 수 COS의 = 0 경우. 이것은 그 NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0을 의미한다.

평행 평면의 방정식

이는 공통의 점을 포함하지 않는 두 개의 평행 한 평면이라고.

조건 의 평행 한 평면은 (관계식은 이전 단락에서와 동일하다) 인 것을 그들에 수직 인 벡터 N과 N¹, 선상. 이것은 다음과 같은 조건이 비례를 충족 것을 의미한다 :

A / A¹ = B / C = H¹ / S¹.

비례 조건이 확장되는 경우 - A / A¹ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

이것은 동일의 데이터 플레인 것을 나타낸다. 이것은 D¹ + + 0 = 하나 개의 평면을 설명 + Cz를 D = + 0 + A¹h V¹u S¹z 의한 방정식 액스 +를 의미한다.

평면에 지점으로부터의 거리

우리는 (0)으로 주어진다 평면 P를 가지고하자. 이 좌표 점까지의 거리를 찾는 것이 필요하다 (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , 당신은 그것을 만들 수있는 비행기 II 정상적인 모습으로 식을 가지고해야합니다 :

(Ρ, V) p (r≥0을) =.

이 경우, ρ (X, Y, Z)을 N (P) 상에있는 우리의 점 Q의 반경 벡터이고, - n은 원점으로부터 방출 된 상기 수직의 길이, V - 상기 방향으로 배열 된 단위 벡터이다.

점 Q = (x, y, z)의 차분 ρ-ρº 반경 벡터 N에 속하는 Q ₀ = (hₒ가 uₒ, zₒ) 인 그러한 벡터, 돌기의 절대 값이 중상의 주어진 지점의 반경 벡터 V Q에서 찾을 필요 거리 (d)를, 동일 = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ)에 P :

D = | (ρ-ρ ^0, V) |하지만,

(ρ ^ρ-0, V) = (ρ, V ) - (ρ ⁰ (V)) = P (ρ ⁰ V).

그래서, 밝혀

D = (| ρ ⁰ V) p |.

이제 Q 평면 P _0에서 거리 (d)를 계산하는 것이 분명하고, 정상적인 뷰 평면 방정식을 사용하는 것이 필요하다 (P)의 좌측으로 이동하고, X, Y의 마지막 위치, Z 대체 (hₒ, uₒ, zₒ).

따라서, 우리는 D를 필요 얻어진 식의 절대 값을 찾기.

언어의 매개 변수를 사용하여, 우리는 명백한 얻을 :

D = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (A² + + V² s² 임).

지정된 점 Q ₀ 벡터 사이 그리고, 원점 평면 P의 반대편에있는 경우 ρ-ρ ⁰ (V)이며 , 둔각 따라서 :

D = - (ρ ^ρ-0, V) = (ρ ⁰ V) -p> 0.

U 자의 동일 측에있는 원점과 함께 점 Q _0가 예각이 생성되는 경우, 즉 :

쪽 = D = (V-ρ ρ ⁰⁾ - (ρ ⁰ V)> 0.

결과는 그 전자의 경우에 제 (ρ ⁰ V)> P (ρ ⁰ V)

그 접평면 방정식

접선 Mº 시점 표면에 관한 평면 - 표면에 그 지점을 통해 그려진 곡선에 대한 모든 가능한 접선을 포함하는 평면.

접평면 탄젠트 포인트 Mº의 식에서 식 F (X, Y, Z) = 0 (uº, hº, zº)이 될 표면의 양식 :

F의 _X (hº, uº, zº) (hº의 X) + F의 _X (hº, uº, zº) (uº의 Y) + F의 _X (hº, uº, zº) (Z-zº) = 0.

표면 명시 Z = f (x, y)를 설정하면, 접선 평면은 수학 식에 의해 설명된다 :

Z-zº = F (hº, uº) (hº의 X) + F (hº, uº) (예를 uº).

두 평면의 교차점

에서는 3 차원 공간 중첩 일치하지 않는다 '및 P'의 두 평면 P 지정된 좌표계 (직사각형) Oxyz이다. 일반 식에 의해 정의 된 직사각형의 좌표계에 임의의 평면 때문에, 우리는 N + B X '+ y'는 'A = 0, n은 식 A'x + V'u S'z + + D에 의해 정의 된' "가정 "Z + D"로 = 0. 이 경우에 우리는 평면 P '정상 N "(A', B ', C") 평면 P의'정상 N '(A', B ', C')을 갖는다. 우리 비행기가 평행하지 않은과 일치하지 않기 때문에, 이들 벡터는 동일 선상에 있지 않습니다. N '≠ N "↔ (A', B ', C') ≠ (λ *와", λ *에서 "λ * C"), λεR을 : 수학의 언어를 사용하여, 우리는이 조건이로 쓸 수 있습니다. 교차 P에 자리 잡고 직선 ' "∩ P와 P는이 경우 A = P에서 문자 A로 표시됩니다'"수 있습니다.

및 - 라인 지점 (공통)면 P '및 P "복수 이루어지는. 이 라인 (A)에 속하는 임의의 점의 좌표는, 동시 식 A'x + V'u S'z + + D '= 0이고 A "X + B'+ C 형 Y"Z + D '= 0을 만족해야한다는 것을 의미한다. 이 점의 좌표는 다음 식의 특정 용액된다는 것을 의미 :

결과 방정식이 시스템의 용액 (총)이 교차점 P '및 P "의 핵심 역할을 라인에 각 점의 좌표를 결정하고, 좌표계 Oxyz (직사각형) 공간에서의 광고를 결정한다는 것이다.