삼각형의 각의 합. 삼각형의 각의 합에 정리

삼각형은 삼면 (세 각도)을 갖는 다각형이다. 대부분의 경우, 일부는 반대의 정점을 대표하는 대문자를 해당 소문자로 표시. 이 문서에서 우리는 삼각형의 각도의 합과 같다을 정의 기하학적 모양, 정리, 이러한 유형의를보십시오.

유형 최대 각도

3 개 개의 꼭지점과 다각형의 다음과 같은 유형 :

• 이는 모든 각도 날카로운 급성하면 앵글;
• 하나의 직사각형 직각을 갖는 것이 형성 측은 다리 함과 직각으로 대향 배치되는 측 빗변을 호출;
• 둔각 일 때 의 각도가 둔각이며 ;
• 그 제 양측이 동일하고, 그들이 가로라고하며, 이등변 - 염기 삼각형;
• 등변 세 측면을 갖는 동일.

속성

삼각형의 각 유형의 특징 기본 속성을 할당합니다 :

• 가장 큰 측면은 항상 더 큰 각도, 반대의 경우도 마찬가지이다 맞은 편;
• 동일 동일 큰 자 반대 각도, 반대의 경우도 마찬가지입니다;
• 임의의 삼각형의 두 예각을 갖고;
• 내부 각도 인접하지 이것보다 외측 각도;
• 두 각의 합은 항상 180도 미만이고;
• 외부 각도는 그와 함께 mezhuyut되지 않은 다른 두 코너의 합과 같다.

삼각형의 각의 합에 정리

정리하면 유클리드 평면에있는 기하학적 형상의 모든 모서리를 추가하는 경우, 다음 그 합이 180도 될 것이라고 주장한다. 의이 정리를 증명 해보자.

우리가 정점 KMN와 임의의 삼각형을 보자. M의 상단이 개최 맞은 라인에 직접 병렬 KN을 (짝수 라인이 유클리드 불린다). 점 K 및 상기 MN 행의 다른 측면에서 배열되도록이 A 점에 유의해야한다. 우리는 내부처럼 평행 직접 CN 및 MA와 함께 MN 교차 형성 십자형 거짓말, AMS 및 MUF, 동일한 각도를 얻을. 이것으로부터, M 및 N의 정점에 위치하는 삼각형의 각도의 합이 CMA 각의 크기와 동일한 것을 따른다. 세 각도 KMA 및 MCS의 각의 합과 동일 합 구성. 데이터 교차에 대하여 내각 양면 병렬 라인 CL과 CM MA 때문에, 그들의 합은 180 °이다. 이 정리를 증명한다.

결과

위의 정리 위의 다음과 같은 추론을 의미한다 : 모든 삼각형이 예각이있다. 이를 증명하기 위해, 우리는이 기하학적 그림은 하나의 예각이 있다고 가정하자. 또한 모서리의 어느 것도 날카로운하지 않습니다 가정 할 수있다. 이 경우에는 동일하거나 90도보다 큰 크기되는 적어도 두 각도이어야한다. 그러나 각도의 합은 180도보다 큽니다. 더, 덜 - 삼각형의 정리 합 각도에 따른 180과 동일하지만이 될 수 없다. 즉 증명했다거야.

건물 외부 코너

외부에있는 삼각형의 각도의 합은 무엇인가? 이 질문에 대한 답은 두 가지 방법 중 하나를 적용하여 얻을 수 있습니다. 첫 번째는, 각 정점을 찍은 즉, 세 가지 각도되는 각도의 합을 찾을 필요가있다. 두 번째는 당신이 정점에 여섯 각도의 합을 찾을 필요가 있음을 의미한다. 제 1 실시의 시작을 처리합니다. 이들의 각각의 상단 - 따라서, 삼각형 여섯 개 외측 모서리를 포함한다. 그들이 수직이기 때문에 각 쌍은 그들 사이 동일한 각도를 가지고

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

또한,이 삼각형의 외부 모서리가 그와 함께 mezhuyutsya하지 않는 두 개의 내부의 합과 같다 것으로 알려져있다. 그러므로,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

이것으로부터 각 꼭지점 근처에 하나씩 외부 촬영 각도의 합과 동일 할 것으로 보인다 :

∟1 + ∟2 ∟3 + + + = ∟A ∟S ∟A ∟V + + + ∟V ∟S = 2 × (∟A + ∟V ∟S +).

각도의 합이 180 개도에 해당된다는 사실을 감안할 때, 그것은 그 ∟A + ∟V ∟S = + 180 °를 주장 할 수있다. 이것은 그 ∟1 + + ∟2 ∟3 = 2 × 180 = 360을 의미한다. 두 번째 옵션이 사용되는 경우, 여섯 각도의 합은 대응 회 클 것이다. 삼각형의 각도의 합, 즉 외부 될 것입니다 :

∟1 ∟2 + + + ∟3 ∟4 ∟5 + + ∟6 = 2 × (∟1 + ∟2 ∟2 +) = 720 °.

직각 삼각형

직각 삼각형의 각의 합과 같다 무엇 섬은? 대답은 삼각형의 각도가 180 개도를 추가한다고 정리에서 다시입니다. 사운드 우리의 주장은 다음과 같이 (속성) : 날카로운 각도가 90도까지 추가 직각 삼각형이다. 우리는 그것의 진실성을 증명한다. 주어진 삼각형 KMN, ∟N는 = 90 °이 있으라. 그 ∟K ∟M = + 90 °를 증명하는 것이 필요하다.

따라서, 각 ∟K ∟M ∟N + = + 180의 합에 정리하는 방법. 이 상태에서 ∟N가 = 90 °라고한다. 그것은 ∟K ∟M + + 90 = 180이 나온다. 90 ° = 90 ° - 즉 ∟K ∟M + = 180 °이다. 즉 우리가 증명한다고합니다.

직각 삼각형의 위의 특성 이외에, 당신은 다음을 추가 할 수 있습니다 :

• 다리에 닿는 날카로운 각도;
• 다리의보다 큰 삼각형의 빗변;
• 빗변보다 다리의 합;
• 30 도의 각도로 마주 놓여 삼각형의 다리는 빗변의 절반, 즉 그것의 절반과 동일하다.

기하학적 모양의 또 다른 속성으로 피타고라스의 정리를 구별 할 수 있습니다. 그녀는 90 개도 (직사각형)의 각도와 삼각형에, 다리의 제곱의 합은 빗변의 제곱에 해당한다고 주장한다.

이등변 삼각형의 각의 합

앞서 우리는 이등변 삼각형이 동일한 두 측면을 포함하는 3 개 개의 꼭지점을 가진 다각형이라고 말했다. 이 속성은 기하학적 인 그림 알려져 그베이스에서의 각도가 동일. 우리가 이것을 증명하자.

그것의 기초 - 이등변, SC이다 삼각형 KMN을 보자. 우리는 그 ∟K = ∟N을 증명해야합니다. 그래서, 우리가 MA를 가정하자 - KMN은 우리의 삼각형의 이등분선이다. 평등의 첫 번째 기호 ICA 삼각형은 삼각형 MNA입니다. 즉, 가설 CM = NM, MA는 ∟1 = ∟2 공통 쪽 주어진 MA 때문에 -이 이등분. 두 삼각형의 평등을 사용하여, 하나는 ∟K = ∟N 것을 주장 할 수 있습니다. 그러므로, 정리 증명된다.

그러나 우리는 삼각형 (이등변)의 각도의 합이 무엇인지에 관심이 있습니다. 이 점에 그 특징이 없기 때문에, 우리는 앞에서 설명한 이론에서 시작됩니다. 즉, 우리는 말할 수이라고 ∟K ∟M ∟N + = + 180 ° 또는 2 × ∟K ∟M = + 180 ° (= ∟K ∟N 등). 삼각형의 각도의 합에 정리 이전에 증명되었다 이것은, 속성을 증명하지 않습니다.

삼각형의 모서리의 고려 속성을 제외하고, 또한 중요한 문장이 있습니다 :

• 에 정삼각형의 높이 기준까지 저하되었다, 동등한 측면과 사이의 각도의 이등분선 동시에 중간 인 대칭축 의베이스는;
• 기하학적 도형의 측면에 유지되는 중간 (이등분선 고도)는, 동일하다.

정삼각형

그것은 또한 권리라고하며, 모든 당사자들에게 동일한 삼각형이다. 그러므로도 같고 각도. 그들 각각은 60도이다. 우리가이 속성을 증명하자.

우리가 삼각형 KMN가 있다고 가정하자. 우리는 KM = HM = KH 것을 알고있다. 이 정삼각형 ∟K = ∟M = ∟N의 바닥에있는 각도의 속성에 따라 의미한다. + = 180 ° 삼각형의 정리 ∟K + ∟M ∟N 각도의 합에 따라, 이후, 다음 × 3 = 180 ∟K 또는 ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, 60 ° = ∟N. 따라서, 주장은 입증된다. 상기 이론에 기초하여 상기 기록에서 알 수있는 바와 같이, 각도의 합 정삼각형의 다른 삼각형의 각의 합으로는 180 °이다. 다시이 정리를 증명 필요가 없습니다.

정삼각형의 특징 일부 속성은 여전히 있습니다 :

• 중간 이등분선 기하학적 높이도 동일하고, 그 길이는 (a √3 X)과 같이 계산된다 : (2);
• 이 다각형 원을 둘러싸는 경우, 반경 (a √3 X)와 동일 할 것 (3);
• 원 정삼각형에 접하는 경우, 그 반경은 (a X √3) 될 것이다 : 6;
• (A2의 X √3) : 기하학적 도형의 면적 식에 의해 계산된다 (4).

둔각 삼각형

정의에 의하면, 둔각 삼각형, 그 코너 중 하나는 90 내지 180도 사이에있다. 그러나 날카로운 기하학적 모양의 다른 두 각도, 그들이 90도를 초과하지 않는 결론을 내렸다 될 수 있다는 사실을 주어진. 따라서, 삼각형의 정리의 각도의 합이 둔각 삼각형의 각도의 합을 계산하는 동작. 그래서, 우리는 안전하게 삼각형의 둔각의 합은 180도이다 위의 이론을 기반으로 말할 수 있습니다. 다시 말하지만,이 이론은 다시 증거를 필요가 없습니다.